Géométrie euclidienne usuelle Définition. 2.4. Étude des cas d’égalité. Un fait remarquable [ 1 ] est que l'identité reste valide seulement si la norme se déduit d'un produit scalaire. Un exemple : Fonction de carré intégrable sur un intervalle Définition. La norme, la direction et le sens sont les trois données qui caractérisent un vecteur et qui ne dépendent donc pas du choix du représentant. 1.2 Vecteurs orthogonaux Dans toute la suite, on se place dans le cadre d’un espace vectoriel euclidien E, et on note le produit scalaire ”.” Définition … Norme euclidienne Définition, identités remarquables, identité du parallélogramme et de polarisation. Identité du parallélogramme a. Montrer que si N est une norme euclidienne alors elle vérifie l'identité du parallélogramme, c'est-à-dire pour tous vecteurs x et y de E, on a (N(x+y))2 +(N(x--y))2 = 2{(N(x))2 + (N(y))Î . kla norme euclidienne associée. 1. Donner une expression du produit scalaire en fonction de N. 00 sur IR2 vérifie-t-elle l'identité du parallélogramme ? La norme b. Espaces Euclidiens 1 ESPACES EUCLIDIENS Dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel réel de dimension finie. On suppose que la norme N sur E vérifie l'identité du parallélogramme. Si la norme k:k1 est euclidienne, alors elle doit vérifier l’identité du parallélogramme, en particulier pour x = e1 et y = e2, on a kxk1 = kyk1 = kx+yk1 = kx+yk1 = 1, on obtient 12 +12 = 2(12 +12) ce qui est faux, donc la norme k:kp n’est pas euclidienne. A partir de là, si on considère que deux vecteurs déterminent un parallélogramme, alors le produit scalaire \(\vec u.\vec v\) est l’aire signée (c’est-à-dire tenant compte du signe, soit un nombre positif ou négatif) du parallélogramme déterminé, non par les vecteurs \(\vec u\) … On peut d’ailleurs remarquer qu’une norme est euclidienne si et seulement si elle vérifie l’identité du parallélogramme. La norme euclidienne associée au produit scalaire est l ... (Identité de polarisation) (Identité de polarisation) (Identité du parallélogramme) Inégalité de Cauchy-Schwarz: . 1b. ,hn) 2 Rn.Le produit scalaire défini par(1.1) est appelé produit scalaire stetard sur Rn. En déduire que la norme || - "oe n'est pas euclidienne… L’ensemble des fonctions de carré intégrable sur I … 3. Identité du parallélogramme Théorème : (Identité du parallélogramme) kkune norme euclidienne et h;ison produit scalaire, alors, 8u;v 2E ku + vk2 + ku + vk2 = 2kuk2 + 2kvk2 Démonstration : On ajoute les deux égalités suivantes : ku + vk2 = kuk2 + kvk2 + 2hu;vi, et, ku vk2 = kuk2 + kvk2 2hu;vi 2.5. Il y a égalité si et seulement si et sont colinéaires. I - Produit scalaire 1) Définition Définition : On appelle produit scalaire sur E toute forme ϕ bilinéaire, symétrique, définie et positive, c’est-à … Si et sont deux points du plan ou de l'espace usuel, la norme du vecteur → est la distance c'est-à-dire la longueur du segment [].Elle se note à l'aide d'une double barre : ‖ → ‖. Description des normes euclidiennes 1. Pour tous (x,y) ∈ E2: kx +yk2 +kx −yk2 =2 kxk2 +kyk2 . Inégalité de Cauchy-Schwarz et triangulaire. Une norme sur un espace vectoriel V vérifie l'identité du parallélogramme si et seulement si elle vérifie l'identité de la médiane : pour tout triangle (ABC) (dans un espace affine de direction V), en notant E le milieu de AC : + = +. Beaucoup d'espaces vectoriels normés n'ont pas de produit scalaire mais comme ils ont une norme, ils peuvent évaluer tous les termes de l'identité précédente de la règle du parallélogramme. a. i. Si la norme N est euclidienne, montrer qu'on a l'identité du parallélogramme : E, —y)2 2N(x)2 + ii. iii. Identité de polarisation
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